Matemática

QUESTÃO 1
Investimento inicial = 120.000
Custo de cada par de sapato = X; Preço de venda = 1,2 X = 30;
portanto x=25.
Lucro em cada par = 30 - 25 = 5.
Lucro Mensal = 5 x 2000 = 10.000.
Tempo necessário para recuperar o invest. Inicial = 120.000 / 10.000 = 12
Resposta: 12 meses.

QUESTÃO 2

Devemos ter:

onde 0 < 2q < 8 ou 0 < q < 4
Portanto N = 8q + 2q e N=10q.
Fazendo:
q = 1 e N = 10;
q = 2 e N = 20;
q = 3 e N = 30;
Resposta: {10, 20, 30}

QUESTÃO 3
Área região hachurada = área (ABCD) - 4.área(Q1) - 4.área(Triang. T);
portanto:
16 = 36 - 4x² - 4. 1/2 . (6 - 2x) . (6-2x)/2
ou
16 = 36 - 4x² - (6 - 2x)²
ou
x2 - 3x + 2 = 0
então x = 1 ou x = 2
Resposta: x = 1 ou x = 2.

QUESTÃO 4

Reta AC: y - 1 = (5 / 5) (x+1) -> x - y + 2 = 0
Reta DE: y - 2 = (6/-2) . (x - 4) -> 3x + y - 14 = 0
Resolvendo o sistema acima, encontramos M(3,5).
Área (CMDN) = 2 . área Triang(CMD) = 2 . (4 . 1)/2 = 4
Resposta: 4

QUESTÃO 5
sen x + cos x = 1
sen²x + cos²x + 2senx.cosx = 1
sen 2x = 2 senx cosx = 0 -> senx = 0 ou cosx = 0.
Da equação, senx = 0 -> cosx = 1 -> cos2x = 1 -> sen 2x + cos 2x = 1;
cos x = 0 -> sen x = 1 -> cos 2x = -1 -> sen 2x + cos 2x = -1.
Resposta: -1 e 1 .

QUESTÃO 6
a) Saindo do aeroporto, voando na direção e no sentido do vento durante t horas e se afastando d Km:
d = (300 + v).t -> t = d/(300 + v) (I); (300 + v > 0)
Voltando para o aeroporto, voando (4 - t) horas:
d = (300 - v) . (4 - t) -> 4 - t = d/(300 - v) (II); (300 - v > 0)
Somando (I) e (II): 4 = (d/(300 + v)) + (d/(300 + v)) (onde |v| <300)
-> 4 = d . ((1/(300 + v)) + (1/(300 - v))) = d . (600/(90.000 - v²))
Finalmente: d = (1/150) . (90.000 - v²).
Resposta: d = (1/150) . (90.000 - v²)

b) d é máxima se v = 0.
Portanto dmax = (1/150) . 90.000 = 600
Resposta: 600 Km.

QUESTÃO 7

a) Â = 210^o - 120^o = 90^o -> ABC é retângulo em A.
BC² = AB² + AC² = 120² + 50² = 16.900 = 130²
BC = 130.
Resposta: 130 Km.

b) a = 180^o - (360^o - 210^o) = 30^o
sen b = 50/130 = 5/13 -> b = arcsen 5/13 graus
Portanto as coordenadas de B, se a origem for o ponto C, são:
d = 130 e q = 30 + arcsen(5/13)
Resposta: (130, 30 + arcsen(5/13))

QUESTÃO 8
Notemos que:
No triângulo ABD, HE é paralelo a BD e HE = BD/2;
No triângulo CBD, GF é paralelo a BD e GF = BD/2;
Portanto os segmentos HE e GF são paralelos e iguais, logo o quadrilátero EFGH é um paralelogramo.

QUESTÃO 9
Podemos escrever:
z = r (cosq + isenq); z = r [cos(-q) + isen(-q)]
e
z³ = r³ (cos3q + isen3q).
Devemos ter: r³ (cos3q + isen3q) = r [cos(-q) + isen(-q)].
Portanto: r³ = r (onde r >= 0) -> r = 0 ou r = 1
e
3q = -q + 2KPi -> 4q = 2KPi : q = KPi/2
se r = 0 -> z = 0;
se r = 1 e q = kPi/2
teremos:
k = 0 -> z = cos 0 + isen 0 = 1;
k = 1 -> z = cos Pi/2 + isen Pi/2 = i;
k = 2 -> z = cos Pi + isen Pi = -1;
k = 3 -> z = cos3Pi/2 + isen 3Pi/2 = - i.
Respostas: 0 , + 1, - 1, + i, - i

QUESTÃO 10
Situação onde o estudante chega atrasado:
I - O estudante chegará às 7h 31min encontrando 2 sinais fechados e um aberto;
prob. (I) = (1/3)² . (2/3).3 = (2/27).3 = 6/27;
II - O estudante chegará às 7h 32min encontrando 3 sinais fechados;
prob (II) = (1/3)³ = 1/27
Portanto a prob.(chegar atrasado) = (6/27) + (1/27) = 7/27 ± 25,9%
Resposta: 7/27

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