XXXVIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Argentina, 1997.
PROBLEMA 1
No plano, os pontos de coordenadas inteiras são os vértices de quadrados unitários. Os quadrados são coloridos alternadamente de branco e preto (como os do tabuleiro de xadrez).
Para cada par de inteiros positivos m e n, se considera um triângulo retângulo cujos vértices têm coordenadas inteiras e cujos catetos, de comprimentos m e n, estão sobre os lados dos quadrados.
Sejam S1 a área total da região preta do triângulo e S2 a área total de sua região branca. Seja
f(m,n) = | S1 - S2 |.
(a) Calcular f(m,n) para todos os inteiros positivos m e n que são ou ambos pares ou ambos ímpares.
(b) Provar que 
para todo m e n.
(c) Demostrar que não existe nenhuma constante C tal que f(m,n) < C para todo m e n.
PROBLEMA 2
O ângulo A é o menor dos ângulos do triângulo ABC.
Os pontos B e C dividem a circunferência circunscrita ao triângulo em dois arcos. Seja U um ponto interior ao arco BC que não contém A.
As mediatrizes de AB e AC cortam a reta AU em V e W, respectivamente. As retas BV e CW se cortam em T.
Demonstrar que
AU = TB + TC.
PROBLEMA 3
Sejam x1, x2, ... , xn números reais que verificam as condicões:
|x1 + x2 + ... + xn | = 1
e
para i = 1, 2, ... , n.
Demonstrar que existe una reordenação (ou permutação) y1, y2, ... , yn de x1, x2, ... , xn tal que
.
PROBLEMA 4
Uma matriz n x n (isto é, um quadro de n linhas e n colunas) é preenchida com números do conjunto S={1, 2, ... , 2n - 1}. Tal quadro se chama matriz de prata se, para cada i = 1, ... , n, a i-ésima linha e a i-ésima coluna juntas contêm todos os números do conjunto S. Demonstrar que:
(a) Não existe nenhuma matriz de prata para n = 1997;
(b) Existem matrizes de prata para infinitos valores de n.
PROBLEMA 5
Determinar todos os pares (a,b) de inteiros a 
1, b 1 que satisfazem
a equação
a(b2) = ba.
PROBLEMA 6
Para cada intero positivo n , seja f(n) o número de formas em que se pode representar a n como soma de potências de 2 com exponentes interos não negativos.
As representações que diferem únicamente pela ordem de suas parcelas são consideradas iguais. Por exemplo f(4)=4, porque 4 pode ser representado das quatro seguintes formas:
4; 2+2; 2+1+1; 1+1+1+1.
Provar que, para todo inteiro n 3:
2n2/4 < f(2
